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"He
saw God's foot upon the treadle of the loom,
and spoke it"
Herman Melville, Moby Dick, VIIC
I.
La Silogística
Desde una edad muy temprana, Leibniz confiesa una enorme admiración
por la teoría del silogismo, esa especie de "matemática
universal", cuya esencia es "verdaderamente demostrativa,
como la Aritmética o la Geometría"(1). Es así
que en Dissertatio de Arte Combinatoria (1666), demuestra que sólo existen 4
figuras del silogismo y a cada una le corresponden seis modos
útiles. Para cada proposición distingue cuatro
cantidades: universal (U), particular (P), indefinido (I) y singular
(S); y dos cualidades: afirmativo (A) y negativo (N). Combina
separadamente las cantidades y las cualidades tres a tres (la 1ª letra representa
la premisa mayor, la 2ª la menor y la 3ª la conclusión). Así,
encuentra 64 (43) combinaciones diferentes de cantidad, aunque
sólo 32 son útiles. Las restantes son eliminadas
por medio de dos reglas clásicas: "Ex puris particularibus
nihil sequitur" y "Conclusio nullam ex præmissis
quantitate vincit", que resumen las reglas: 1. No puede
haber jamás dos premisas particulares, 2. La conclusión
siempre posee una cantidad y una cualidad inferiores a las que
poseen las dos premisas (la
negativa se considera como inferior a la afirmativa y la particular
a la universal)
y 3. De dos premisas negativas nada se sigue.
Mediante un procedimiento análogo, Leibniz encuentra 8
combinaciones diferentes en cualidad (23), de las cuales tres
solamente son útiles, a saber: AAA, NAN y ANN. De esta
forma, combina los 32 modos cuantificadores y los 3 cualificadores
hasta formar 96 (32*3) modos distintos. De éstos, suprime
los 8 modos del tipo Frisesmo y que no son de ninguna
figura, le restan 88 modos útiles.
La introducción de cuatro cantidades diferentes frente
a las dos (U y P) distinguidas por Aristóteles, hace que
correspondan un gran número de modos al caso particular
de uno de los modos tradicionales. Por ejemplo, al modo Darii
corresponden nueve combinaciones diferentes en cantidad; UII,
USS, UPP, UIS, USI, UIP, UPI, USP y UPS. Hasta aquí sigue
los pasos de Hospinianus. Pero finalmente Leibniz asimila las
proposiciones singulares a las universales y las indefinidas
a las particulares, no admitiendo más que las dos cantidades
clásicas (U y P), puesto que en ellas el sujeto ocupa
la totalidad de su extensión. De esta forma, las 32 combinaciones
de cantidades se reducen a sólo cuatro variantes: UUU,
UUP, UPP y PUP. Donde cada una engendra otras siete, al reemplazar
U por S y P por I.
Sus cuatro modos cuantitativos combinados uno a uno con los tres
modos cualitativos que vimos antes, producen los 12 "modes
simples généraux". A su vez, estos 12 modos
simples engendran 24 modos figurados cuando se tienen en cuenta
la diversidad de figuras (según
la posición del término medio respecto a cada una
de las premisas).
Leibniz defiende enérgicamente la 4ª figura contra
sus críticas(2):
Omne
animal est substantia
Omnis homo est animal
Ergo, Quædam substantia est homo
Aquí,
el término medio es predicado de la mayor y sujeto de
la menor (característica
de la 4ª figura).
Sus reglas le llevan a obtener 6 modos concluyentes para el silogismo
"categórico simple", dentro de cada una de las
cuatro figuras(3). Por ejemplo,
para la figura 1: Barbara, Celarent; Barbari, Celaro y
Darii, Ferio. Aquí, hay cuatro modos "vulgares"
(Barbara,
Celarent, Darii y Ferio), más dos modos "adicionales"que
se obtienen por subalternancia de las proposiciones universales,
como veremos más adelante. Esta aparente simetría
la interpreta Leibniz como una marca de verdad (recordemos que para él la naturaleza
es regular en todas sus manifestaciones) y la considera similar en importancia
al número de poliedros regulares. Él mismo remarca
que estos modos se obtienen adjuntando a los modos universales
de cada figura los modos subalternos correspondientes, y lo indica
por medio de las diferentes declinaciones Barbari, Celaro,
Cesaro y Camestras.
Para reducir los modos de las tres últimas figuras a aquellos
de la 1ª, conforme a la tradición aristotélica,
Leibniz adopta un
método que denomina de "régression",
y que no es otro que el de reducción al absurdo. Según
su fórmula, consiste en tomar por premisas de un nuevo
silogismo una de las premisas del silogismo dado y la negación
de su conclusión. Se ha de deducir la negación
de la otra premisa.
Veamos algunos ejemplos a continuación de cómo
se demuestra la subalternancia y la conversión tomando
por premisas una proposición idéntica: "Todo
A es A" o "Algún A es A".
Subalternancia del afirmativo,
se demuestra por Darii:
Todo A es B,
Algún A es A,
Luego, algún A es B.
Subalternanacia de la
negativa, se demuestra por Ferio:
Ningún A es B,
Algún A es A,
Luego, Algún A no es B.
Igualmente, el universal
afirmativo se convierte, por medio de Darapti, en la 3ª
figura:
Todo A es B,
Todo A es A,
Luego, cualquier B es A.
Y así
sucesivamente. En el último caso, el modo Darapti,
que parte de premisas universales para llegar a una conclusión
particular, no sería válido en un el cálculo
habitual de predicados monádicos, tal cual se comprende
hoy en día.
Por último, recordemos otra afirmación de Leibniz
que rechaza uno de los postulados clásicos, a saber, que
de dos premisas negativas no se extrae conclusión alguna.
Postula lo siguiente, transforma las proposiciones negativas
en afirmativas dándoles un predicado indefinido y en su
lugar llevando la negación sobre el predicado. Así:
Nullus homo est avis
Nullus homo est angelus
quedan,
Omnis homo est non-avis
Omnis homo est non-angelus
luego
(por Darapti),
Quidam non-angelus est non-avis
De
esta forma, Leibniz reafirma la importancia de las proposiciones
idénticas y su utilidad en la formulación frente
a las opiniones de los empiristas.
Interesante es la manera en que Leibniz demuestra los cuatro
modos de la 1ª figura: Barbara, Celarent,
Darii y Ferio, deducidos a partir de un único
principio al que denomina "el fundamento del silogismo".
Dicho principio figura en varios opúsculos inéditos
y reza como sigue:
"Fundamentum
syllogisticum hoc est: Si totum aliquod C cadat intra aliquod
D, vel si totum C cadat extra aliquod D, tunc etiam id quod inest
ipsi C priore quidem casu cadet intra D, posteriore vero casu
cadet extra D. Et hoc est quod vulgo vocant dictum de omni et
nullo."
(Si el término
medio está incluido en el término mayor o está
excluido de él, incluye o excluye de él el término
menor que lo contiene en sí mismo)
También define cuál es la relación entre
los términos de una proposición de la siguiente
manera: "A incluye B" significa que B se afirma universalmente
de A. Es decir, que todo A es B. "A excluye B" significa
que B es universalmente negado de A. Esto es, ningún A
es B. Se esfuerza en remarcar que desde su punto de vista no
se puede definir, directamente siquiera, más que las proposiciones
universales, en vista de qué conceptos se incluyen o excluyen
de su totalidad, y que sería absurdo suponer entre ellos
una inclusión o una exclusión parcial. Por consiguiente,
las proposiciones particulares no se pueden definir más
que como negaciones de las proposiciones universales, de las
cuales son, respectivamente, las contradictorias (O como negación
de A e I como negación de E). De donde resulta que sus
modos primitivos son los 5 modos universales: Barbara,
Celarent, Cesare, Camestres y Camenes.
Si hubiera examinado más en detalle su teoría,
afirma Coutuart, habría visto que si las proposiciones
particulares no hacen más que negar las relaciones de
inclusión o exclusión afirmadas por las universales,
entonces no es más posible deducir una particular de dos
universales que una negativa de dos afirmativas. De todas formas,
Leibniz estuvo lejos de no reconocer que sus modos eran "imperfectos".
Leibniz reformula las reglas de los cinco modos universales,
quedando reducidos a:
1º. Si A incluye
B y si B incluye C, A incluye C.
2º. Si A incluye B y si B y C se excluyen, A y C se excluyen
mutuamente.
Antes de pasar al siguiente punto, tal vez sea necesario repasar
las ideas clásicas de "comprensión" y
"extensión" de un concepto. El conjunto de caracteres
o propiedades distintivas constituye la comprensión del
concepto, mientras que el conjunto de objetos o individuos que
las poseen constituyen su extensión. Así, si "A
es B", éstos se relacionan de dos maneras. Desde
el punto de vista de la comprensión, el sujeto A posee
el atributo o predicado B, es decir, que éste forma parte
de la comprensión de aquél (fig. 2); desde el punto de vista de
la extensión, la clase conjunto de objetos A forma parte
de la clase conjunto de objetos B, es decir que la extensión
del concepto A está contenida dentro de la extensión
del concepto B (fig.
1).
Se ve que la relación de la extensión y la comprensión
de dos conceptos son en cualquier caso inversas la una de la
otra. Se podría decir que desde el punto de vista de la
extensión el sujeto está contenido dentro de la
noción de predicado, mientras que desde el punto de vista
de la comprensión el sujeto es el continente.
De esta forma, Leibniz representa los tres términos del
silogismo por medio de círculos (interiores cuando se incluyen y exteriores
cuando se excluyen).
Por ejemplo, el esquema de Barbara será siempre
el mismo (AAA), y según se interprete la inclusión
de los conceptos en extensión o en comprensión,
el orden de los términos estará invertido (fig. 3 y 4). El esquema
de Celarent es bien diferente:
Ningún B es C,
Todo A es B
---------------------
Ningún A es C
Desde el punto de vista de la extensión, el término
menor A, contenido dentro del medio B, está excluido del
término C como el propio B. Desde el punto de vista de
la comprensión, al contrario, el término medio
B, contenido dentro del menor A, el cual excluye al término
mayor C que también aquél excluye. Leibniz oscila
constantemente, sin llegar a decidirse por uno o por otro, entre
los dos puntos de vista opuestos de la extensión y la
comprensión (inclinándose
por la extensión de acuerdo con los principios de su lógica).
Como vemos, Leibniz otorgaba gran importancia a la representación
de los razonamientos por medio de signos y figuras geométricas,
esto apuntaba directamente a la búsqueda de una Characteristica
que centrará todos sus esfuerzos. Esto le llevó
a inventar antes que Euler los esquemas circulares para todos
los modos del silogismo.
Además, es particularmente interesante y perfecta la invención
de un ingenioso sistema se esquemas lineales, que ha sido extraído
de sus manuscritos inéditos (más de uno asegura que Leibniz
encontró la clave final del universo y que la fórmula
permanece en alguno de estos manuscritos de la Biblioteca de
Hannover).
Consiste en designar los conceptos por dos líneas paralelas
y añadir a sus extremidades líneas punteadas y
perpendiculares para constatar sus relaciones de inclusión
o de exclusión parcial o total. Así:
La proposición es afirmativa cuando las líneas
punteadas determinan unos segmentos reales de los dos términos.
Para componer el silogismo, simplemente yuxtapone los esquemas
de las dos premisas, colocando la línea intermedia, que
figura el término medio, entre cada uno de ellos, y haciéndolas
coincidir. Finalmente, une las premisas por dos líneas
continuas verticales que figuran la conclusión (las líneas punteadas
figuran las premisas).
Los segmentos afectados por la conclusión (comprendidos entre las
dos líneas verticales continuas) están necesariamente
contenidos dentro de aquellos que afectan a las premisas. Estos
son los esquemas de la 1ª figura:
Notas:
(1) Carta a Bourguet,
22 de marzo de 1714.
(2) Nuevos
Ensayos sobre el Entendimiento Humano (IV, XVII, § 4.
p. 581).
(3) Ibíd.,
pp.580-581.
Estudios y
Consulta
COUTUART, Louis.
La logique de Leibniz (D'après des documents inédits),
Félix Alcan Editeur, París 1901.
RUSSELL, Bertrand. Exposición crítica de la
filosofía de Leibniz, Siglo Veinte, Bs. As. 1977.
BURNHAM, Douglas. G. W. Leibniz (1646-1716) Metaphysics,
The internet Encyclopedia of Philosophy.
COPLESTON, Frederick. Historia de la Filosofía
vol. IV, Ariel, Barcelona 1996.
Bibliografía
Methodus Vitae (Escritos de Leibniz),
Vol. I-III. Edición de Agustín Andreu. Universidad
Politécnica de Valencia.
Nuevos ensayos
sobre el entendimiento humano, Introducción y traducción
de J. Echeverría Ezponda, Ed. Alianza, Madrid 1992.
Tratados Fundamentales, incluye Nuevo
sistema de la Naturaleza, Monadología, Principios de la
Naturaleza y de la Gracia, etc. Ed. Losada, Bs. As. 1946.
Discurso de
Metafísica,
Introducción y notas de Julián Marías, Ed.
Alianza, Madrid 1986 (artículo original en "Revista
de Occidente", 1942).
Teodicea,
ensayo sobre la bondad de Dios, la libertad del hombre y el origen
del mal,
Ed. Claridad, Bs. As. 1946.
Observaciones
críticas sobre los Principios de filosofía cartesianos, Ed. Gredos, Madrid
1989.
Obras de Leibniz, Vol. I-V, traducción
de D. Patricio de Azcárate, Ed. Casa Editorial de Medina,
Madrid.
* El presente ensayo fue
presentado como trabajo de campo en el Departamento de Lógica
de la UNED, Madrid, en Agosto de 2003. Los errores u omisiones
que el mismo pueda contener son aportaciones personales del autor,
las ideas originales pertenecen al Profesor Coutuart, de cuya
obra definitiva, La Logique de Leibniz (1901), se extrajo todo
lo claro y comprensible.
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