|
II.
La Combinatoria
Según
Leibniz, la matemática es la lógica de la imaginación.
En los Nuevos Ensayos sobre el Entendimiento Humano (IV, XVII, § 7.
pp. 586-587)
afirma que la lógica corriente es, frente a la lógica
sublime o matemática universal, lo que los rudimentos
del abecedario son a la erudición.
A los
catorce años concibió la idea que sería
el germen de toda su Lógica(4). Había reparado que
los "predicamentos" o categorías de Aristóteles
sirven para ordenar los términos simples o conceptos dentro
del orden que les corresponde en las proposiciones. Y se pregunta
entonces, por qué no distribuir igualmente los términos
complejos, es decir, las proposiciones o enunciados, dentro del
orden que les toca en los silogismos, de tal forma que "pudieran
deducirse unas de otras". Él llamaba a estas
clases "predicamentos de enunciados", como las otras
son "predicamentos simples". Sus tutores no le prestaron
mucha atención y desalentaron sus esfuerzos. Ignoraban
que éste era precisamente el método de los matemáticos
y los geómetras, cuando ordenan sus teoremas según
el orden en que se deducen unos de otros.
Llega así a establecer que todas las verdades pueden ser
deducidas de un puñado de verdades simples y que todas
las ideas pueden ser reducidas, por descomposición, a
un pequeño número de ideas primitivas e indefinibles.
De esta forma, se afana en encontrar y clasificar todas las ideas
simples y de cuya combinación procederían todos
los pensamientos complejos por un método infalible. Surge
con ello el "Alfabeto de los pensamientos humanos",
donde todas las nociones derivadas no serían más
que combinaciones de nociones fundamentales.
En Dissertatio de Arte Combinatoria, afirma que una de
las principales aplicaciones de la combinatoria es la Lógica
y, en particular, la "lógica de la invención",
aquella que permite combinar las nociones simples para encontrar
todas las verdades que se desprenden de su relación. Inspirado
en las ideas de Raymond Lulle, comprende que una proposición
es una combinación de dos términos, sujeto y predicado,
por lo tanto, el problema fundamental de la lógica de
la invención revierte a: "Dado un sujeto, encontrar
todos los predicados posibles, dado un predicado, encontrar todos
los sujetos posibles". En otras palabras, encontrar
todas las proposiciones verdaderas en las que un concepto figura,
ya sea como sujeto, ya sea como predicado. Por ejemplo, todas
las proposiciones posibles entre 9 términos serían:
C = n!/[(n-p)!.p!]
= 9!/[(9-2)!-2!] = 36
Lulle idea un método general para formar todas las proposiciones
posibles(5), construyendo
una tabla de categorías, repartidas en 6 series y distinguiendo:
9 atributos absolutos (bonitas, magnitudo, duratio,
etc.), 9 relaciones (differentia, concordantia,
contrarietas, etc.), 9 cuestiones (utrum, quid,
quare, etc.), 9 sujetos (deus, homo, angelus,
etc.), 9 virtudes (justitia, prudentia, fortitudo,
etc.) y 9 vicios (avaritia, gula, luxuria,
etc.). Dentro de cada serie, el número de combinaciones
que pueden formar los 9 conceptos tomados de 1 en 1, de 2 en
2, etc., es: 2 a la novena - 1= 511.
Si uno combina una combinación de cada serie con una combinación
de cada una de las otras, obtiene el número total de proposiciones
posibles:
p = 511 a la sexta
= 17.804.320.388.674.561
Sin embargo, Leibniz critica duramente a Lulle, tanto por la
elección arbitraria de los conceptos como por su número,
artificialmente fijado a 9, que le permite obtener una simetría
ficticia. De la misma forma, las virtudes y los vicios no conforman
ninguna noción primitiva y universal. La invención
de Lulle es más un tópico de la Retórica
que un instrumento útil para las cuestiones filosóficas.
Leibniz parte de un cierto número de conceptos simples,
éstos son los términos de 1er orden, que incluirá
dentro de una misma clase (la
primera)
y representados por números, por ser el signo más
sencillo. Los términos de 2º orden, incluidos en
una segunda clase, se obtienen de combinar dos a dos aquellos
de la primera. Los de 3er orden, incluidos en una tercera clase,
se obtienen al combinar los de la primera tres a tres, y así
ad infinitum. El término resultante, compuesto de términos
simples, se representa por el producto simbólico de los
números correspondientes. Para simplificar la escritura
y las definiciones, cada término de 3er orden será
el producto de un término del 1º por un término
del 2º; cada término de 4º orden será
el producto de dos términos de 2º o de un término
de 1º y uno de 3º, y así sucesivamente. La fracción
designa los términos de orden superior al 1º, donde
el denominador indica el número de orden de la clase,
y el numerador el número del término dentro de
esa clase. Así:
½ designa el 1er término de la 2ª clase
2/3 designa el
2º término de la 3ª clase, etc.
Por ejemplo, dados los siguientes cuatro términos simples:
3, 6, 7, 9
Se obtienen los seis términos de 2º orden (numerados por orden):
1: 3.6, 2: 3.7, 3:
3.9, 4: 6.7, 5: 6.9, 6:
7.9
Un mismo término de la 3ª clase será representado
por:
(1/2).9, (3/2).6, (5/2).3
Todas equivalentes a: 3.6.9
Si k es el número de términos simples que
entran en la definición de un término (por ejemplo,
2, 3, 5, 7 son términos simples o factores primos en la
definición de 210, tal que 2.3.5.7 = 210), el número
de predicados (de
divisores)
posibles y diferentes, será tanto como el número
de combinaciones de k letras, en total:
2 a la k - 1
En el ejemplo anterior, k=4, luego existen:
4 combinaciones de uno en uno
6 combinaciones de dos en dos
4 combinaciones de tres en tres
1 combinación de cuatro en cuatro
15 combinaciones en total
Por otra parte, cada combinación de:
1 término, da lugar a 2 a
la 1
- 1 = 1 combinación.
2 términos, da lugar a 2 a la 2 - 1 = 3 combinaciones (AB, BA, A.B).
3 términos, da lugar a 2 a la 3 - 1 = 7 combinaciones (ABC, BAC, ACB,…,
A.B.C).
4 términos, da lugar a 2 a la 4 - 1 = 15 combinaciones.
E inversamente,
dado un término, encontrar todos los sujetos posibles.
Como cada término es un predicado en todos los productos
donde él figura, se trata de encontrar todas las combinaciones
que contienen una combinación dada. Si k es el
número de factores simples (primos) de la combinación dada,
y n es el número total de términos simples,
el número de combinaciones buscadas es el número
de combinaciones posibles de los (n - k) otros términos,
así:
2(n-k) - 1
Y como el término dado puede ser su propio sujeto en la
proposición idéntica p, esto corresponde
a la combinación de cero términos. Así,
definitivamente, queda:
2(n-k) - 1 + 1 =
2(n-k) combinaciones
posibles
Las
ideas planteadas en esta obra de juventud, a pesar de algunos
errores de cálculo debidos a la propia inexperiencia del
autor y su escaso dominio de las matemáticas a esa temprana
edad, servirán de base a ulteriores investigaciones. En
concreto, a cada concepto simple o categoría habrá
de corresponderle un nombre o signo simple en el "Alfabeto
de los pensamientos humanos", instrumento de una nueva Característica
Universal.
III.
La Lengua Universal
Los
trabajos en combinatoria de Leibniz no tienen por objeto el cálculo,
sino la concepción, más propia de la Lógica,
de una lengua o escritura Universal. Ésta sería,
según el propio autor la imagina, de una sencillez tal
que facilitaría su aprendizaje y su repetición,
puesto que su fundamento lógico reposa en el análisis
de sus conceptos por reducción a términos simples.
Constituiría así una suerte de alfabeto ideográfico,
compuesto de símbolos que representan conceptos elementales
o categorías. Esta idea, propia del espíritu intelectual
del Renacimiento, que en la renovación de las Ciencias
y la Filosofía había dejado al descubierto la unidad
fundamental del espíritu humano, hacía posible
una unión internacional de naciones y pueblos. Su concreción
sería una lengua universal, la Characteristica Universalis,
que sustituiría definitivamente todas las lenguas regionales.
Descartes tuvo también este sueño, y lo consideró
un proyecto viable.
En un opúsculo titulado Lingua generalis, de 1678,
Leibniz enuncia su primer sistema de cálculo según
su método combinatorio. Para expresar que el hombre es
un animal racional, representa, por ejemplo, en sus términos
simples, animal por 2 y razonable por 3. "Hombre" será
el producto ideal 6, de suerte que la igualdad:
6 = 2 . 3
correspondería a la identidad lógica,
hombre
= animal . racional
Si bien el problema no se solucionaba tan fácilmente.
En vez de crear una lengua a priori de este tipo y, en
definitiva, puramente convencional, Leibniz se plantea el proyecto
más ambicioso y difícil de adoptar un método
a posteriori. Tomará como punto de partida las
lenguas vivas y extraerá, mediante un análisis
lógico, por una parte las ideas simples, y por otra parte,
una gramática racional que simplifique y regularice los
fundamentos de las diferentes lenguas.
Hablamos de un lenguaje reducido a los términos estrictos
de las necesidades de expresión del pensamiento. Los términos
simples serán aquellos términos del discurso que
no se pueden definir por descomposición y deberán
se recorridos como el hilo de Ariadna en la trama del pensamiento.
Así, estudiará las palabras, las locuciones hechas
y los proverbios. De la sintaxis estudiará las declinaciones,
conjugaciones, partículas, reduciéndolas al mínimo
posible. Construirá una gramática racional, sin
irregularidades y sin excepciones.
La búsqueda de esta lengua universal y filosófica
presupone a la larga una doble y hercúleo trabajo. Por
un lado, la reducción de todos los conceptos a elementos
simples, lo que equivale, al mismo tiempo, al análisis
de la veritabilidad de estos conceptos y a la edificación,
mediante principios simples y evidentes, de una Enciclopedia
Demostrativa. Por otra parte, una vez que los conceptos primitivos
están determinados y clasificados, habrán de ser
representados por caracteres apropiados, en esto consiste, precisamente,
la elaboración de una Caractrístique Universelle.
La silogística y la combinatoria, por tanto, desembocan
en la Enciclopedia y la Característica. Las cuales, a
su vez, se complementan mutuamente y deben ser desarrolladas
a un tiempo y paralelamente.
Barcelona,
17/VIII/2003
Notas:
(4) Obras
de Leibniz, vol. I. § Vida de Leibniz (trazada por él
mismo).
(5) Ars magna,
1669.
Estudios y
Consulta
COUTUART, Louis.
La logique de Leibniz (D'après des documents inédits),
Félix Alcan Editeur, París 1901.
RUSSELL, Bertrand. Exposición crítica de la
filosofía de Leibniz, Siglo Veinte, Bs. As. 1977.
BURNHAM, Douglas. G. W. Leibniz (1646-1716) Metaphysics,
The internet Encyclopedia of Philosophy.
COPLESTON, Frederick. Historia de la Filosofía
vol. IV, Ariel, Barcelona 1996.
Bibliografía
Methodus Vitae (Escritos de Leibniz),
Vol. I-III. Edición de Agustín Andreu. Universidad
Politécnica de Valencia.
Nuevos ensayos
sobre el entendimiento humano, Introducción y traducción
de J. Echeverría Ezponda, Ed. Alianza, Madrid 1992.
Tratados Fundamentales, incluye Nuevo
sistema de la Naturaleza, Monadología, Principios de la
Naturaleza y de la Gracia, etc. Ed. Losada, Bs. As. 1946.
Discurso de
Metafísica,
Introducción y notas de Julián Marías, Ed.
Alianza, Madrid 1986 (artículo original en "Revista
de Occidente", 1942).
Teodicea,
ensayo sobre la bondad de Dios, la libertad del hombre y el origen
del mal,
Ed. Claridad, Bs. As. 1946.
Observaciones
críticas sobre los Principios de filosofía cartesianos, Ed. Gredos, Madrid
1989.
Obras de Leibniz, Vol. I-V, traducción
de D. Patricio de Azcárate, Ed. Casa Editorial de Medina,
Madrid.
* El presente ensayo fue
presentado como trabajo de campo en el Departamento de Lógica
de la UNED, Madrid, en Agosto de 2003. Los errores u omisiones
que el mismo pueda contener son aportaciones personales del autor,
las ideas originales pertenecen al Profesor Coutuart, de cuya
obra definitiva, La Logique de Leibniz (1901), se extrajo todo
lo claro y comprensible.
|
|
