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Resumen
Se
presenta una reseña de la historia y fundamento de la Conjetura de
Poincaré así como ciertas reflexiones sobre su solución por Grigori
Perelman. Además se realiza un detallado análisis sobre la ecuación
diferencial del Flujo de Ricci.
Introducción
La
comunidad matemática mundial y en menor medida la física, se
conmovió ante la noticia en el 2002, de que un matemático ruso,
conocido sólo en un pequeño círculo de especialistas había resuelto
uno de los problemas más famosos de la historia de las matemáticas,
planteado en 1904 por el gran matemático, físico y filósofo francés
Henri Poincaré, sin que hasta ahora, casi un siglo después, nadie
hubiera podido resolver aunque fueron muchos los que lo intentaron.
La Conjetura de Poincaré, como se conoce el famoso problema, ha sido
resuelta por el matemático ruso de origen judío Grigori Perelman.
Antes que Perelman, se acercaron a la resolución y contribuyeron
significativamente a la definitiva, dos eminente matemáticos, R.S,
Hamilton y B. Thurston. Hamilton propició la utilización para el
tratamiento del problema, del llamado Flujo de Ricci, del cual se
realiza un detenido análisis en el trabajo que aquí se presenta.
Perelman en su informe reconoce la contribución de Thurston y de
Hamilton, especialmente de este último, en la correcta utilización
del Flujo de Ricci. Hamilton fue uno de los más pródigos en elogios
hacia el trabajo de Perelman. En el trabajo que aquí presentamos
además de realizar una breve alusión a lo que es la Topología, y
después de algunos detalles históricos de la Conjetura, de Henri
Poincaré y de Grigori Perelman, se da cuenta de los aspectos
teóricos del Flujo de Ricci utilizando un mínimo de la matemática
necesaria para una mejor comprensión de lo que se expone.
Desarrollo.
Grigori Yaklevich Perelman, es uno de los más
prestigiosos matemáticos de la actualidad, pero de tal cosa sólo
tienen conocimiento los especialistas en una rama de las menos
tratadas de la ciencia en cuestión como es el caso de la Topología.
La Topología, también conocida como Analysis Situs, es una
variante de la geometría en la que se consideran como equivalentes
dos figuras por el hecho de que los puntos que conforman una de
ellas pueden ponerse en correspondencia continua uno a uno con los
de la otra aunque una aparezca como reproducción distorsionada de la
otra. De figuras así relacionadas se dice que son topológicamente
equivalentes u homeomórficas. Esas figuras parecen como si una de
ellas hubiera sido dibujada en una lámina de goma y la otra fuera el
resultado de deformar arbitrariamente la lámina de goma. Por lo
explicado una circunferencia y un cuadrado son topológicamente
equivalentes. Una circunferencia y cualquier figura topológicamente
equivalente con ella divide al espacio en una región interior y una
exterior. Un anillo o sea la figura limitada por dos circunferencias
concéntricas tiene una región interior (el anillo propiamente
dicho) y dos exteriores. A la región exterior que
queda dentro del anillo y a espacios similares a éste, en topología
se les llama agujeros u orificios. A las figuras sin agujeros se les
llama simplemente conexas, a las que tienen agujeros se les llama
múltiplemente conexas. Figuras simplemente conexas no pueden ser
topológicamente equivalentes con figuras múltiplemente conexas. En
tres dimensiones por razones análogas a las expuestas la esfera es
simplemente conexa y equivalente a otra figura tridimensional
simplemente conexa como pudiera ser un cubo o dado.
Sobre estos temas de gran importancia en física y
otras disciplinas, es destacado investigador el matemático ruso
Grigori Perelman el cual se ha especializado en transformaciones
topológicas conocidas como Flujo de Ricci. Además de sus trabajos en
San Petersburgo ha realizado relevantes estudios en universidades
norteamericanas. En el 2002 anunció al mundo haber resuelto el
quizás mas importante problema matemático del milenio, conocido como
Conjetura de Poincaré, según la cual todas las estructuras
compactas, simplemente conexas, esto es, que cualquier lazo cerrado,
dibujado en ellas puede constreñirse hasta un punto sin abandonar la
estructura, son homeomórficas de un ente geométrico llamado
triesfera. Cierta analogía formal aunque no muy precisa que me
parece advertir entre la expresión del Flujo de Ricci: R=-1/2 ∂t g
(R tensor de curvatura de Ricci relacionado con el lapalaciano Δ y g
tensor métrico. Obvio subíndices de R y g por agilizar procesamiento
del texto.) y la ecuación diferencial de onda electromagnética, y el
hecho que relacionen campos con curvaturas y espacio-tiempo, me hace
pensar que quizás especialistas en el tema pudieran encontrar en
ésto, aportes al empeño teórico de unificación de las fuerzas
gravitatorias y electromgnéticas soñado por Einstein y Kaluza.
También advierto una analogía formal entre la ecuación temporal de
Schroedinger y la que he presentado del Flujo de Ricci igualmente
una ecuación diferencial no-lineal del tipo parabólico. . Si en ésta
realizamos la sustitución que encontramos en el desarrollo de la
Teoría General de la Relatividad: R=1/c2Δϕ
donde
ϕ=-c2/2(g+1),
R tensor de curvatura de Ricci, g componente de tensor métrico,
ϕ
potencial gravitatorio, tendremos la siguiente expresión para el
Flujo: Δg=∂tg que es análoga a la ecuación temporal de Schroedinger
lo cual motiva a pensar en una solución para la ecuación del flujo
igualmente análoga: g=const.exp1/2m(Et-pr) donde E energía y
p momentum. La solución ondulatoria g quedaría relacionada
con la curvatura de Ricci por la expresión: R=-1/2Δg y de esa forma
también tendríamos una relación cuántico-relativista en el contexto
de geometrización. Indicaré una forma de demostrar la relación antes
utilizada entre el flujo de Ricci y el lapalaciano del potencial.
Las ecuaciones de la TGR las mostraré de la forma siguiente. Las
ecuaciones de la TGR pueden escribirse así: R=8πk/c4(Tik-1/2gT)
donde T tensor energía impulso que lleva implícita la masa por lo
que en esa expresión de R se evidencia la relación curvatura- masa
que estipula la TGR. Realizando la sustitución T=-µc2
y g=1, además por la relación antes vista de g en
función de
℘
se llega a R=(4πk/c2)µ
y aplicando. R= Γx derivada respecto a x del símbolo de Christoffel
que representa intensidad de campo de modo que por las igualdades
anteriores se tiene R=1/c2Δϕ
que es la relación que queríamos demostrar la cual nos sirvió para
llegar a una ecuación que mostrara el carácter de ecuación
diferencial no-lineal parcial tipo parabólica del Flujo de Ricci.
Soy de la opinión al interpretar las conclusiones
de Perelman en la solución de la Conjetura, de que la superficie del
Universo “aparece” a cierta escala como una estructura la cual en
cada punto luce ser un espacio euclideo (en inglés: manifold), pero
que en una más cercana visualización nos mostraría cambios en la
topología y la superficie dejaría de ser suave y se presentaría
discreta, surgiendo como una espuma lo cual interpretamos debida a
las fluctuaciones cuánticas en el espacio-tiempo fundamentada por el
Principio de Heisenberg (aspectos no mencionados en estos términos
en la literatura sobre la Conjetura a la que he podido acceder)
. En
su solución de la Conjetura, Perelman maneja el Flujo de Ricci para
sortear de forma que pudiera calificarse de “quirúrgica”, las
singularidades posibles que a la postre muestra a la triesfera y
posible forma del Universo, como homeomórfica con toda estructura
compacta simplemente conexa. El llamar quirúrgico al procedimiento
descrito quizás sea una metáfora para el hecho de que la aparición y
aniquilación de partículas y antipartículas producto de las
fluctuaciones, Perelman lo muestre como una supresión teórica del
impedimento de que en la estructura los lazos cerrados puedan
constreñirse hasta puntos. ¿Alguna analogía con la intención de la
Teoría de las Cuerdas de ignorar u ocultar las singularidades y
posibles desgarramientos del tejido espacio-temporal a nivel
subplanckiano representada mediante los modelos de Calabi-Yau?, Una
última reflexión al respecto: por lo que he podido conocer mediante
lo aparecido en Internet y sobre todo en el magnífico libro “The
Poincaré Conjecture”, de Donal O´Shea, no se hace mención cuando se
trata la forma del Universo, a la expansión y posible futura
contracción del mismo. La
comunidad científica ha reconocido los méritos indiscutibles de
Grigori Perelman al que consideran un genio y otorgaron la Medalla
Fields en el XXX Congreso de la Unión Matemática Internacional. Sin
embargo, Perelman de 40 años, al que se le conoce un carácter muy
especial, , rechazó un premio al que se considera como el
Nobel de las Matemáticas, el cual iba a ser entregado
por el Rey de España y anunció que rompía sus relaciones con la
comunidad matemática, se supone que por estar disgustado por el
hecho de que algunos aún discuten sobre lo acertado o no, de su
solución a la Conjetura de Poincaré. Matemáticos destacados como el
norteamericano John Ball, trataron de disuadirlo de su drástica
decisión, pero sin lograrlo. Quizás una de las causas de la actitud
asumida por Perelman, fue el disgusto de conocer como algunos
matemáticos especializados en el tema de la Conjetura, alegaron
haber resuelto el famoso problema antes que él. Tal es el caso de
Shing-Tung Yau, nacido en Shan-Tuney, China, pero desarrollado gran
parte de su trabajo en Estados Unidos, el cual se le conoce por sus
aportes a la Teoría de las Cuerdas. Junto con Eugenio Calabi, es autor
de los modelos de espacio-tiempo conocidos como Formas de Calabi-Yau,
los cuales sirven como maquetas para visualizar los presupuestos de
la Teoría de las Cuerdas, Alegó que el ya había con anterioridad
resuelto la Conjetura, pero que tal hallazgo no despejaba la duda
sobre la forma del espacio. No obstante Yau reconoció en una
entrevista de prensa el talento de Grigori Perelman. Desde que en el
2002, Grigori Perelman, dio a conocer que había resuelto el famoso
problema de la Conjetura de Poincaré, se ha suscitado entre quienes
tienen cierto grado de preparación matemática, gran interés en
conocer, detalles de en que consiste el tal problema. Pero es el
caso que la literatura , a un nivel como el de los artículos del
propio Perelman, disponibles en Internet, resulta muy difícil de
entender, para quienes no poseen conocimientos suficientes de las
disciplinas implicadas en el tema de la conjetura, tales como
Topología y Geometría Diferencial. Pero aspectos fundamentales del
tema, como lo es el Flujo de Ricci, éste se presenta como una
ecuación diferencial en derivadas parciales análoga a conocidas como
la del Calor, la temporal de Schrodinger, y otras del mismo tipo
parabólico. Para aquellos que en sus carreras universitarias si bien
recibieron cursos hasta de Cálculo III y Ecuaciones Diferenciales,
pero no Teoría General de la Relatividad (TGR), al no conocer sobre
el Tensor de Ricci, no advierten una ecuación diferencial en la
expresión habitual del Flujo de Ricci. En este trabajo intento en lo
posible, mostrar el carácter de ecuación diferencial del Flujo de
Ricci a partir de expresiones tomadas de la TGR. Analizo también, en
el mismo contexto, la analogía entre la ecuación que nos ocupa con
otras importantes en física. El Flujo de Ricci suele presentarse
así:
gt = --2R (1)
donde R
tensor de Ricci y g componente del tensor geométrico, en los cuales
omito los subíndices tensoriales para agilizar el procesamiento del
texto. Tomadas de la TGR, utilizo las siguientes relaciones como ya
antes hice y repito por su importancia,
R=1/c2
Δϕ
(2) y g=-1-2ϕ/c2 (3)
para
llegar a expresar el Flujo en la forma siguiente:
Δ g = gt
(4)
la cual al
aparecer un operador diferencial como el laplaciano, ya muestra la
condición de ecuación diferencial del tipo parabólico con lo cual ya
obtenemos uno (el principal) de nuestros objetivos. Por lo general
en la literatura al uso, se recalca la analogía del Flujo de Ricci
con la ecuación del Calor la cual suele expresarse en la siguiente
forma:
ΔT = c//kTt
expresión
en la cual se advierte la analogía con la que hemos encontrado para
el Flujo si analogamos c/k con 1. Esta inusual analogía con un
número, la utilizaremos en lo que sigue para mostrar otras
analogías.
Ahora ya
es fácil mostrar la analogía de (4) con ecuaciones como la temporal
de Schroedinger:
Δψ =
-4πmiψ
cuya
solución es ψ = Cexp (-2πi/h(Et-p.r)). Continuando con la
analogía podemos tomar como solución de (4) la análoga a esta
última, la cual tendrá esta forma: g = Dexp (-1/2m (Et-p.r)
donde se ha analogado -4πmi con 1. Para ambas soluciones hemos
representado por C y D, las respectivas constantes de integración
las cuales se determinarán de las convenientes condiciones
iniciales. El Flujo de Ricci expresado en la forma (4) sólo es
analogable con ecuaciones diferenciales parciales del tipo
parabólico, lo cual me ha llevado a pensar en buscar una especie de
ampliación de (4) que nos permita analogarla con ecuaciones del tipo
elíptico. Primero presentaré una ecuación de tipo elíptico, la
conocida ecuación de onda, la cual representaré de esta manera:
Δy = -1/v2 ytt
(5)
donde el
laplaciano es en este caso unidimensional, y la elongación y v la
velocidad de propagación.. Como se sabe, la solución de (5) es: y=
Aexp(i(wt-kx)) con lo que Δy=-k2y
y ytt=k2v2y
que puestos en (5) confirman lo dicho. Procedimiento análogo pudo
haberse seguido con la ecuación de onda electromagnética también
elíptica y no lineal la cual manteniendo la notación utilizada la
representamos así:
Δf = n2/c2 ftt
donde se toma como un comodín o joker para representar, según el
caso, al campo eléctrico o el magnético. En este caso la analogía
con el Flujo la realizamos analogando el coeficiente en el segundo
miembro con 1. Veamos ahora como puede llegarse a una expresión que
pudiera analogarse con (5) como el Flujo de Ricci se analogó con la
Ecuación de Schcroedinger. Para ello analogamos y con g y –1/v2
con 1 por lo cual obtenemos la expresión:
Δg = gtt
(6)
Ahora mediante (2) y (3) llego a Δg=-2R que puesto
en (6) da:
gtt = -2R (7)
muy
parecida a (1). A la ecuación (7) a la cual he llegado, sugiero
llamarla Extensión del Flujo de Ricci y que debidamente modificada
en forma similar a (6), podría generalizarse para los tres tipos de
ecuaciones diferenciales parciales. El Flujo Generalizado se
presentaría así:
gti = Δng donde i=1 o 2 n= número de dimensiones.
Conclusiones
Como ha
podido verse además de presentar el componente histórico y
conceptual de lo esencial relacionado con la Conjetura de Poincaré,
he dedicado especial atención a mostrar el carácter de ecuación
diferencial en derivadas parciales no lineal del tipo parabólico de
la ecuación que expresa al Flujo de Ricci, motivado por el hecho
cierto de que quienes se acercan al tema en cuestión. sin
conocimientos especializados en Topología y Geometría Diferencial
así como tampoco en TGR, no veían en la sumamente escueta expresión
con que suele representarse al Flujo indicios de una ecuación que
respondiera a las características señaladas no obstante haber
cursado en su formación universitaria avanzados cursos de Cálculo y
Ecuaciones Diferenciales. En ese contexto introdujimos algunas
analogías formales del Flujo con importantes ecuaciones de la física
tales con las de Schroedinger, las de las ondas, así como la del
calor que es la mas socorrida para comparar con la del Flujo. Por
último y sólo como algo curioso sin intención de sugerir su uso
científico, aunque si quizás el didáctico, hicimos una digresión
acerca de una posible generalización a otros tipos de ecuaciones y
para otro número de dimensiones, de la expresión del Flujo de Ricci.
Bibliografia
Behnke,H., F. Bachmann, et alt.1987.Fundanentals of Mathematics.
The
MIT Press. London.
Landau, L. y E.Lifshitz. 1968.Teoría Clasica de los
Campos..Pergamon Press.
New York.
O´Shea, D.2007 The Poincaré Conjecture. Walker and Company.
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Duncan, R. y M. Weston-Smith. La Enciclopedia de la Ignorancia.
Fondo de Cultura Económica. México. 1996.
Greene, B. The Elegant Universe. Vintage Books. New York. 2000.
Landau, L. y E. Lifshitz.Teoría Clásica de los Campos. Pergmon Press.1962.
O´Shea, D, The
Poincaré Conjecture. Walker and Company. New York. 2007
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